最小树形图

HDU 2121 Ice_cream’s world II

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妙啊!!
无定根的最小树形图,没想出来怎么做,看了题解后的第一感想就是,太妙了!!!

简单说一下无定根的最小树形图的基本思路。
首先建立一个虚根 r ,让虚根连向每一个实点,权值尽量大,一般选择实边边权和+1即可,以虚根建立最小树形图。
如果得到的答案大于等于两倍的 虚根到实点距离 , 那么就是不存在。因为最多只会存在一条。具体自己yy即可。

而我们需要找出的根节点,因为存在缩点,所以直接拿 虚根指向的结点是不行的。另一条有效且方便的方法就是在 虚根连实点的时候 一般人都会按顺序连,那么只要记录边的序号,然后 序号 - 点数即可。

题意:
无定根最小树形图裸题。

思路:
见上。

AC Code

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pdd;
const int maxn = 1e3 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];

struct node {
    int u, v;
    ll cost;
} edges[maxm];

ll zhuliu(int root, int n, int m, int& key)
{
    ll res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
                if (u == root)
                    key = i;
            }
        }
        in[root] = 0;
        each(i, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 0;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        each(i, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 0)
            break;
        each(i, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[edges[i].u];
            edges[i].v = id[edges[i].v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc;
        root = id[root];
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n, m, key;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        ll sum = 0;
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d %lld", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].cost);
            sum += edges[i].cost;
        }
        sum++;
        each(i, n) edges[i + m] = (node){ n, i, sum };
        ll res = zhuliu(n, n + 1, m + n, key);
        if (res == -1 || res - sum >= sum)
            puts("impossible");
        else
            printf("%lld %d\n", res - sum, key - m);
        puts("");
    }
    return 0;
}

BEST THEOREM

BEST THEOREM ( 附 HDU 6064

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昨晚多校的以为是数论的图论题,我看许学姐也是忙得不可开交肯定是没去看过的了。
看了题解发现matrix tree,以为可写,然后就跟Yasola搞这题搞了一个晚上……

这道题用到的是求欧拉回路的 BEST THEOREM 定理,感觉国内资料相当少,不管google还是baidu都搜不到什么中文介绍,唯一搜到的是一片SGU的题目……

这里稍微简单介绍一下……

BEST THEOREM 简介

BEST THEOREM是解决有向欧拉回路路径数量的定理,其前提条件是能构成欧拉回路,也就是每个点必须入度等于出度,(这个是要自己额外判断的……)

其表达式为

$ ec\left( G\right) = t_{w}\left( G\right) \times \prod _{v\in V}\left( \deg \left( v\right) -1\right) ! $

其中,\( t_{w}\left( G\right) \) 为 所有树形图数量,而deg为每个点的入度
树形图数量可以通过固定一个根结点,并计算从这个根节点出发的有向生成树数量。

( 粗略翻译自 WIKI ……)

而关于生成树计数,则可以用到 Matrix-Tree解决,但我们平时使用的都是无向图的Matrix-Tree定理。
而有向图则稍微不同,只要将根节点所在的行列删去而所形成的 新的 C 矩阵 求行列式即可。

另外的,提醒一句,欧拉回路是不考虑起点的。如果要定根结点,还需要乘以根结点的deg 。因为对于一条完整的欧拉路径,我从任意一个 r 开始都将被视作不同的路径。(昨晚我跟Yasola两个yy所得……)

题解

题意:
求从 1 号结点出发的 欧拉回路的数量。对于任意两点之间的路径视为相同。

思路:
基本上就是板子题,将 BEST THEOREM 略加修改即可。
因为对于任意两点之间的路径视为相同,而 BEST THEOREM 是视为不同的 。所以要除以每两个点的边数的阶乘。
因此答案就是

$ Trees \times deg[1] ! \times \prod _{i=2}^{m} \left( deg\left[ i\right]-1\right) \times \prod _{i=1}^{m} \prod _{i=1}^{m} \dfrac {1} {Dij!} $

  • 其中 Trees 为 以 1 为根节点的树形图数量 *

AC Code

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 410;
const int mod = 998244353;

int d[maxn][maxn], g[maxn][maxn];
ll c[maxn][maxn];
int in[maxn], mul[(int)2e5 + 10], out[maxn];

int n;

ll getDet(ll a[][maxn], int n)
{
    range(i, 1, n) range(j, 1, n) a[i][j] = (a[i][j] + mod) % mod;
    ll ret = 1;
    range(i, 2, n)
    {
        range(j, i + 1, n) while (a[j][i])
        {
            ll t = a[i][i] / a[j][i];
            range(k, i, n) a[i][k] = (a[i][k] - a[j][k] * t % mod + mod) % mod;
            range(k, i, n) swap(a[i][k], a[j][k]);
            ret = -ret;
        }
        if (a[i][i] == 0)
            return 0;
        ret = ret * a[i][i] % mod;
    }
    return (ret + mod) % mod;
}

ll fastPow(ll n, ll m)
{
    ll ans = 1;
    while (m) {
        if (m & 1)
            ans = ans * n % mod;
        n = n * n % mod;
        m >>= 1;
    }
    return ans;
}

bool judgeEuler()
{
    range(i, 1, n) if (in[i] != out[i]) return false;
    return true;
}

int main()
{
    int cas = 0;
    mul[0] = mul[1] = 1;
    range(i, 2, (int)(2e5 + 5)) mul[i] = (mul[i - 1] * 1LL * i) % mod;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        fill(in, 0), fill(d, 0), fill(out, 0);
        range(i, 1, n) range(j, 1, n)
        {
            scanf("%d", &g[i][j]);
            d[j][j] += g[i][j];
            in[j] += g[i][j];
            out[i] += g[i][j];
        }
        if (!judgeEuler()) {
            printf("Case #%d: 0\n", ++cas);
            continue;
        } else if (n == 1) {
            printf("Case #%d: %d\n", ++cas, mul[g[1][1]]);
            continue;
        }
        range(i, 1, n) range(j, 1, n) c[i][j] = d[i][j] - g[i][j];
        ll trees = getDet(c, n) % mod * mul[in[1]] % mod;
        range(i, 2, n) trees = trees * mul[in[i] - 1] % mod;
        range(i, 1, n) range(j, 1, n) trees = trees * fastPow(mul[g[i][j]], mod - 2) % mod;
        printf("Case #%d: %lld\n", ++cas, trees);
    }
    return 0;
}
最小树形图

朱刘算法入门 ( 附 POJ 3164 Command Network

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第一道最小树形图的题,最近意外的发现,生成树的题目超级多……
最小树形图在很早就想抽时间学一下了,因为之前看了Yasola的博客……
昨天多校的有向图的matrix tree定理中提到了树形图,所以现在就来补一下。

这里简单介绍一下朱刘算法求解最小树形图
不错的学习资料

朱刘算法的整体思路在于在根节点确定的前提下 对于每一个点,去寻找他边权最小的入边。
在寻找结束后,有三种情况

  1. 存在一个点不存在任何入边,则不存在以当前根节点的最小树形图
  2. 存在若干个环,这显然不符合树形图的要求
  3. 不存在任何环,满足要求且最小,得到了最小树形图。

在寻找最小入边的思路下,最大的问题就是找出结果存在若干环,朱刘算法没有避开这个问题,而是去正面解决。

解决方法是将每一个由最小入边形成的环缩为一个点,将所有指向缩点后的某一点的边权减去,缩点前环内指向该点的边权。

这个有点难描述,但看看下面的图片就很好理解了。
一张传烂的图

下面是题解。

题意:
给你几个点,几条边,问你从1结点开始的最小树形图的值。

思路:
无。模板题。

犯了一个很煞笔的错误,求得是距离,自以为是的先秋所有平方和,再开方……

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<double, double> pdd;
const int maxn = 1e2 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;

double in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];

pdd nodes[maxn];

struct edge {
    int u, v;
    double cost;
    void getCost()
    {
        cost = (nodes[u].first - nodes[v].first) * (nodes[u].first - nodes[v].first) + (nodes[u].second - nodes[v].second) * (nodes[u].second - nodes[v].second);
        cost = cost == 0 ? inf : sqrt(cost);
    }
} edges[maxm];

double zhuliu(int root, int n, int m)
{
    double res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost + eps < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
            }
        }
        in[root] = 0;
        range(i, 1, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 1;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        range(i, 1, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 1)
            break;
        range(i, 1, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[edges[i].u];
            edges[i].v = id[edges[i].v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc-1;
        root = id[root];
        //cout << res << endl;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        range(i, 1, n) scanf("%lf %lf", &nodes[i].first, &nodes[i].second);
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d", &edges[i].u, &edges[i].v);
            edges[i].getCost();
        }
        double ans = zhuliu(1, n, m);
        if (ans == -1)
            puts("poor snoopy");
        else
            printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}