最小树形图

HDU 6141 I am your Father!

Posted on

南大所谓的最小费用有向图…………
什么 jb 玩意????不是都叫最小树形图么………………

这道题适合Yasola一起讨论的,虽然说一起讨论,但是对权值进行修改这一关键操作还是他想得
太巨了呀!!! 然而最后还是差一点。

题意:
给你一张有向图,要你求最大树形图,同时满足最后一个结点的父亲字典序最小。

思路:
这个朱刘算法……有毒……
朱刘算法真的是把原图毁的不成样子……
然后我们两个就在这里踩了很多坑……

首先认清一点,朱刘算法是可以求负权的。这就保证了最大树形图可解。

再是单独一个结点的字典序最小。
首先一个重要的操作就是对边权扩大处理。对于指向最后一个结点的边权我们让它与父亲结点编号联系起来。
联系方法:

$ edges[i].cost = v == n ? -w * 1000 - 1000 + u : -w * 1000 $

说一下我们的很多错误思路,不想看可以直接跳过。

  1. 直接用pre 数组输出。 不可行,因为结点都已经缩点染色过了,边数组的起点终点不是原起点,原终点,
  2. 开一个ori 数组记录每一个染色后的点的原起点和原终点。 不可行,因为染色后的点是缩点后多个结点在同一个点,无法用染色后的点只想原起点或终点。 或许反过来可行,但我没试过。
  3. 额外开一个数组记录边的起点和终点,当遍历更新的时候判断是否指向最后一个点,如果是,更新答案。 不可行,边权会被破坏,更新时也不一定在最后才会更新到。

一个可行正解: 对改动权值的答案直接取模就好啦!!

这个可行正解是无耻薛昊从标程里看来的!!

AC Code

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int key = 1e3;
const int maxn = 1e3 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

ll in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];

struct node {
    int u, v;
    ll cost;
} edges[maxm];

ll zhuliu(int root, int n, int m)
{
    ll res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
            }
        }
        in[root] = 0;
        each(i, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 0;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        each(i, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 0)
            break;
        each(i, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[u];
            edges[i].v = id[v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc;
        root = id[root];
    }
    return res;
}

int main()
{
    int T, n, m, u, v, w;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d %d", &n, &m);
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            edges[i].u = u - 1, edges[i].v = v - 1;
            edges[i].cost = v == n ? -w * key - 1000 + u : -w * key;
        }
        int ans = -zhuliu(0, n, m);
        printf("%d %d\n", ans / key, 1000 - ans % key);
    }
    return 0;
}
最小树形图

HDU 4966 GGS-DDU

Posted on

今天在回寝室之前A的最后一题,是前年多校的一道最小树形图。

老实说,一开始看到这题第一想法,是将所有终点练到超级汇点,然后跑最短路。冷静了一下发现完全搭不上边……
比如说当你学到了某一个课程的level 5 ,那么该课程的level 4 ,level 3都是无消耗可达的。

是的,说到这,学过最小树形图的十有八九都会有思路,将同一课程高level指向低level,消耗为 0 。建立超级汇点连接每一个课程,再将培训班建边,跑一跑朱刘即可。

题意:
小明有n个课程,每个课程有个理想的level,他想通过补课来达到这些level。补课形式是你在a课程达到某一个level,那你补完之后就会在b课程直接达到 另一个level,花费给定。
求最小花费。

思路:
见上。

AC Code

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 605;
const int maxm = 2005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];
int prefix[maxn], num[maxn];

struct node {
    int u, v;
    ll cost;
} edges[maxm << 1];

ll zhuliu(int root, int n, int m)
{
    ll res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
            }
        }
        in[root] = 0;
        each(i, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 0;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        each(i, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 0)
            break;
        each(i, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[edges[i].u];
            edges[i].v = id[edges[i].v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc;
        root = id[root];
    }
    return res;
}

inline int getNum(int a, int b)
{
    return prefix[a] + b + 1;
}

int main()
{
    int n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF && (n || m)) {
        int tmp = 0, mn = 0, a, b, c, d, e;
        range(i, 1, n)
        {
            scanf("%d", &tmp);
            prefix[i] = prefix[i - 1] + tmp + 1;
            edges[mn++] = (node){ 0, prefix[i - 1] + 1, 0 };
        }
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &e);
            edges[mn++] = (node){ getNum(a - 1, b), getNum(c - 1, d), e };
        }
        range(i, 1, n) rrange(j, prefix[i - 1] + 3, prefix[i]) edges[mn++] = (node){ j, j - 1, 0 };
        printf("%lld\n", zhuliu(0, prefix[n] + 1, mn));
    }
    return 0;
}
最小树形图

HDU 2121 Ice_cream’s world II

Posted on

妙啊!!
无定根的最小树形图,没想出来怎么做,看了题解后的第一感想就是,太妙了!!!

简单说一下无定根的最小树形图的基本思路。
首先建立一个虚根 r ,让虚根连向每一个实点,权值尽量大,一般选择实边边权和+1即可,以虚根建立最小树形图。
如果得到的答案大于等于两倍的 虚根到实点距离 , 那么就是不存在。因为最多只会存在一条。具体自己yy即可。

而我们需要找出的根节点,因为存在缩点,所以直接拿 虚根指向的结点是不行的。另一条有效且方便的方法就是在 虚根连实点的时候 一般人都会按顺序连,那么只要记录边的序号,然后 序号 - 点数即可。

题意:
无定根最小树形图裸题。

思路:
见上。

AC Code

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pdd;
const int maxn = 1e3 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];

struct node {
    int u, v;
    ll cost;
} edges[maxm];

ll zhuliu(int root, int n, int m, int& key)
{
    ll res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
                if (u == root)
                    key = i;
            }
        }
        in[root] = 0;
        each(i, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 0;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        each(i, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 0)
            break;
        each(i, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[edges[i].u];
            edges[i].v = id[edges[i].v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc;
        root = id[root];
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n, m, key;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        ll sum = 0;
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d %lld", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].cost);
            sum += edges[i].cost;
        }
        sum++;
        each(i, n) edges[i + m] = (node){ n, i, sum };
        ll res = zhuliu(n, n + 1, m + n, key);
        if (res == -1 || res - sum >= sum)
            puts("impossible");
        else
            printf("%lld %d\n", res - sum, key - m);
        puts("");
    }
    return 0;
}

最小树形图

朱刘算法入门 ( 附 POJ 3164 Command Network

Posted on

第一道最小树形图的题,最近意外的发现,生成树的题目超级多……
最小树形图在很早就想抽时间学一下了,因为之前看了Yasola的博客……
昨天多校的有向图的matrix tree定理中提到了树形图,所以现在就来补一下。

这里简单介绍一下朱刘算法求解最小树形图
不错的学习资料

朱刘算法的整体思路在于在根节点确定的前提下 对于每一个点,去寻找他边权最小的入边。
在寻找结束后,有三种情况

  1. 存在一个点不存在任何入边,则不存在以当前根节点的最小树形图
  2. 存在若干个环,这显然不符合树形图的要求
  3. 不存在任何环,满足要求且最小,得到了最小树形图。

在寻找最小入边的思路下,最大的问题就是找出结果存在若干环,朱刘算法没有避开这个问题,而是去正面解决。

解决方法是将每一个由最小入边形成的环缩为一个点,将所有指向缩点后的某一点的边权减去,缩点前环内指向该点的边权。

这个有点难描述,但看看下面的图片就很好理解了。
一张传烂的图

下面是题解。

题意:
给你几个点,几条边,问你从1结点开始的最小树形图的值。

思路:
无。模板题。

犯了一个很煞笔的错误,求得是距离,自以为是的先秋所有平方和,再开方……

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<double, double> pdd;
const int maxn = 1e2 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;

double in[maxn];
int pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];

pdd nodes[maxn];

struct edge {
    int u, v;
    double cost;
    void getCost()
    {
        cost = (nodes[u].first - nodes[v].first) * (nodes[u].first - nodes[v].first) + (nodes[u].second - nodes[v].second) * (nodes[u].second - nodes[v].second);
        cost = cost == 0 ? inf : sqrt(cost);
    }
} edges[maxm];

double zhuliu(int root, int n, int m)
{
    double res = 0;
    int u, v;
    while (true) {
        each(i, n + 1) in[i] = inf;
        each(i, m)
        {
            u = edges[i].u, v = edges[i].v;
            if (u != v && edges[i].cost + eps < in[v]) {
                pre[v] = u;
                in[v] = edges[i].cost;
            }
        }
        in[root] = 0;
        range(i, 1, n) if (in[i] == inf) return -1;
        int scc = 1;
        fill(id, -1), fill(vis, -1);
        range(i, 1, n)
        {
            res += in[i];
            v = i;
            while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if (v != root && id[v] == -1) {
                for (u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
                    id[u] = scc;
                id[v] = scc++;
            }
        }
        if (scc == 1)
            break;
        range(i, 1, n) if (id[i] == -1) id[i] = scc++;
        each(i, m)
        {
            v = edges[i].v;
            edges[i].u = id[edges[i].u];
            edges[i].v = id[edges[i].v];
            if (edges[i].u != edges[i].v)
                edges[i].cost -= in[v];
        }
        n = scc-1;
        root = id[root];
        //cout << res << endl;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        range(i, 1, n) scanf("%lf %lf", &nodes[i].first, &nodes[i].second);
        each(i, m)
        {
            scanf("%d %d", &edges[i].u, &edges[i].v);
            edges[i].getCost();
        }
        double ans = zhuliu(1, n, m);
        if (ans == -1)
            puts("poor snoopy");
        else
            printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}