同余BFS

HDU 6071 Lazy Running

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第一次刷到HDU第一名,趁现在没人比我高,截图来一发!!!!

对于这道题,我只想说一个字

妙!!!!

题意:
给你四个点,(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)之间都有一条无向路径,让你从 2 号点出发,最后回到2号点,同时使得走过的距离大于等于 k ,并且 最小。

k很大,最大达到 1e18 ,四条路的范围不大于 3e4 。

思路:
这道题真的是太妙了!!!

说一下我比赛前后的思路,这里我称 从 起点 2 回到 2的回路为 E 回路。

先说一下我比赛的思路:
一开始我的思路是这样的,首先不考虑单纯的往返,那么E回路就有7种情况。
那么我考虑复杂度的话最多的就是4点成环且只有4条边的情况,对于这条已有的E回路,我们可以在任意一条路径走来回走,使得路径长度增大。
那么我们就可以将问题转化成为 \( a_1 \times x + a_2 \times y + a_3 \times z + a_4 \times p \geq k \) 这样的不等式 4点4边成环需要特殊判断
四个系数为 [0,1e18] ,我们要求找到四个系数,使得不等式成立并且左边的值最小。
可以考虑用 二分 做。但是明显复杂度不够而且很难实现……

*正解 : *

同余 bfs (以前被我叫作 数位bfs……)

首先对于一个已得的E回路,我们可以用任一一条E回路对它进行扩展。
因为这个图的E回路有无穷多个,我这里任取一条 为 a 。

假设已得E回路 p ,有E回路 a , 那么必然存在一条拓展E回路 p + a。
同理,必然存在\( p + n \times a \) 的拓展E回路。
那么对于 \( p + n \times a \geq k \) ,那么 我们只要找出最小的 满足条件 的 p 。而这里的条件就是 \( p \in \left[ 0 , a \right) \)。

答案开始显然了起来
对于一个E回路 eu ,我么只要找到 最小的 p 使得 \( p + n \times eu \geq k \) 即可。
其中 \( p \in \left[ k \% eu , eu\right) \)
那么,eu 的范围将影响到我们整个算法的复杂度,所以我们应取 eu 为 最小,而最小的 E回路为
\( \min \left( d_{2,1} , d_{2,3} \right) \times 2 \)

有个需要注意的地方就是我们在取同余距离的时候要注意不能超过原本的 k ,这里只要限制一下就可以了。

AC Code

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>

#define each(i, n) for (int(i) = 0; (i) < (n); (i)++)
#define reach(i, n) for (int(i) = n - 1; (i) >= 0; (i)--)
#define range(i, st, en) for (int(i) = (st); (i) <= (en); (i)++)
#define rrange(i, st, en) for (int(i) = (en); (i) >= (st); (i)--)
#define fill(ary, num) memset((ary), (num), sizeof(ary))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int mod = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 6e4 + 10;

ll k, times;
int d[5], w, ans;
bool vis[4][maxn];

struct node {
    int pos, val;
    ll time;
    node() {}
    node(int p, int v, ll t) { pos = p, val = v, time = t; }
};

queue<node> que;

void bfs(int st)
{
    fill(vis, false), vis[st][0] = true;
    node cur;
    int tmp, l, r;
    que.push(node(st, 0, 0));
    while (!que.empty()) {
        cur = que.front();
        que.pop();
        if (cur.pos == st && cur.val >= k)
            ans = min(ans, cur.val);
        l = (cur.pos + 3) & 3, r = (cur.pos + 1) & 3;
        if (!vis[l][(tmp = cur.val + d[l]) % w] && tmp / w + cur.time <= times) {
            que.push(node(l, tmp % w, tmp / w + cur.time));
            vis[l][tmp%w] = true;
        }
        if (!vis[r][(tmp = cur.val + d[cur.pos]) % w] && tmp / w + cur.time <= times) {
            que.push(node(r, tmp % w, tmp / w + cur.time));
            vis[r][tmp%w] = true;
        }
    }
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld", &k);
        each(i, 4) scanf("%d", d + i);
        w = 2 * min(d[0], d[1]), times = k / w, k %= w, ans = inf;
        bfs(1);
        if (ans < inf)
            printf("%lld\n", w * times + ans);
        else
            printf("%lld\n", (times + 1) * w);
    }
    return 0;
}
BFS

CodeForces 295C Greg and Friends

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bfs + dp 好题。
真好,比赛的时候想不出来,看题解的时候感觉好复杂……
看完写的时候感觉非常流畅!

题意:
载人过岸,一艘船最大载重 k 已经给定。每个人的重量只会是50或者100。问最小的过岸次数与方案数。

思路:
老实说这个题目我可以看就知道是道搜索题,因为和那个什么东西(就是搜索入门的那个)来着非常像。
最重要的还是理清状态与思路。
以左岸50重人数,100重人数,船是否在左岸表示一个状态,对他进行 bfs ,只要满足船重量大于 0 并且小于等于最大 k,每次过岸花费 1 。第一个搜索到 最终状态的就是我们要求的结果。

而我们的方案数,只能通过dp来球,dp最讲求的就是状态,

转移方程如下:

如果是 左岸 -- > 右岸 anum表示 50重总人数 , bnum 表示 100重 总人数

\( dp[x][y][0] += dp[a][b][1] \times C_a^{a-x} \times C_b^{b-y} \)

否则

\( dp[x][y][1] += dp[a][b][0] \times C_{anum-a}^{x-a} \times C_{bnum-b}^{y-b} \)

写到中间的时候突然发现组合数求不来……尴尬……百度了一下,在数据较小的时候可以直接递推求

\( C_n^m = C_n^{m-1} + C_{n-1}^{m-1} \)

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxn = 55;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

int n, k;
int anum, bnum, maxa, maxb;
ll dp[maxn][maxn][2], c[maxn][maxn], dis[maxn][maxn][2];

struct status {
    int an;
    int bn;
    int isLeft;
    status() {}
    status(int _an, int _bn, int _isLeft)
        : an(_an)
        , bn(_bn)
        , isLeft(_isLeft)
    {
    }
};

queue<status> que;

int bfs()
{
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 50; i++) {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
    maxa = anum > 0 ? k / anum : 0, maxb = bnum > 0 ? k / bnum : 0;
    que.push(status(anum, bnum, 1));
    dis[anum][bnum][1] = 0;
    dp[anum][bnum][1] = 1;
    status now, nxt;
    while (!que.empty()) {
        now = que.front();
        que.pop();
        if (!now.an && !now.bn && !now.isLeft)
            return dis[0][0][0];
        for (int i = 0; i <= maxb; i++)
            for (int j = i ? 0 : 1; j <= maxa; j++) {
                if (i * 100 + j * 50 > k)
                    break;
                if (now.isLeft) {
                    if (now.an - j < 0 || now.bn - i < 0)
                        continue;
                    nxt.an = now.an - j, nxt.bn = now.bn - i, nxt.isLeft = false;
                    (dp[nxt.an][nxt.bn][0] += dp[now.an][now.bn][1] * c[now.an][j] % mod * c[now.bn][i] % mod) %= mod;
                    if (!dis[nxt.an][nxt.bn][0]) {
                        dis[nxt.an][nxt.bn][0] = dis[now.an][now.bn][1] + 1;
                        que.push(nxt);
                    }
                } else {
                    if (now.an + j > anum || now.bn + i > bnum)
                        continue;
                    nxt.an = now.an + j, nxt.bn = now.bn + i, nxt.isLeft = true;
                    (dp[nxt.an][nxt.bn][1] += dp[now.an][now.bn][0] * c[anum - now.an][j] % mod * c[bnum - now.bn][i] % mod) %= mod;
                    if (!dis[nxt.an][nxt.bn][1]) {
                        dis[nxt.an][nxt.bn][1] = dis[now.an][now.bn][0] + 1;
                        que.push(nxt);
                    }
                }
            }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int weight;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &weight);
        if (weight == 50)
            anum++;
        else
            bnum++;
    }
    int step = bfs();
    if (step == -1) {
        puts("-1\n0");
    } else
        printf("%d\n%lld\n", step, dp[0][0][0]);
    return 0;
}

BFS

HDU 1043 Eight

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康复计划之搜索 1
因为有个小学弟在第二天就说ida * 看不懂,搞得我挺慌 我可以说我也不是很熟么

题意:
经典八数码

思路:
这里提供的是单向bfs + 打表思路,本来想复习ida * 但是不小心看到了kuangbin的思路,就写了一下。

简单说就是我从起始状态 123456780 开始对0进行bfs,通过康托展开的hash函数进行记录状态和路径。询问时对哈希值进行询问和查找。

实际上并没有用到康托展开的性质,只是通过2进制hash而已……

#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <string>

using namespace std;
const int maxn = 400000;

int fac[] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880 };
string path[maxn];
bool vis[maxn];
int dx[] = { 0, -1, 0, 1 };
int dy[] = { -1, 0, 1, 0 };
char dir[] = "rdlu";

struct node {
    int s[9];
    int zero_pos;
    int hash;
    string path;
};

int cantor_hash(int s[])
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 9; i++) {
        int renum = 0;
        for (int j = i + 1; j < 9; j++)
            if (s[i] > s[j])
                renum++;
        res += (renum * fac[9 - i - 1]);
    }
    return res;
}

void init()
{
    memset(vis, false, sizeof vis);
    node cur, nxt;
    for (int i = 0; i < 8; i++)
        cur.s[i] = i + 1;
    cur.s[8] = 0;
    cur.zero_pos = 8;
    cur.hash = cantor_hash(cur.s);
    path[cur.hash] = "";
    vis[cur.hash] = true;
    queue<node> que;
    que.push(cur);
    while (!que.empty()) {
        cur = que.front();
        que.pop();
        int x = cur.zero_pos / 3;
        int y = cur.zero_pos % 3;
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int xx = x + dx[i];
            int yy = y + dy[i];
            if (xx < 0 || xx > 2 || yy < 0 || yy > 2)
                continue;
            nxt = cur;
            nxt.zero_pos = xx * 3 + yy;
            nxt.s[cur.zero_pos] = nxt.s[nxt.zero_pos];
            nxt.s[nxt.zero_pos] = 0;
            nxt.hash = cantor_hash(nxt.s);
            if (!vis[nxt.hash]) {
                nxt.path = dir[i] + cur.path;
                path[nxt.hash] = nxt.path;
                que.push(nxt);
                vis[nxt.hash] = true;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    node cur;
    char buf[2];
    while (scanf("%s", buf) != EOF) {
        if (buf[0] == 'x') {
            cur.zero_pos = 0;
            cur.s[0] = 0;
        } else
            cur.s[0] = buf[0] - '0';
        for (int i = 1; i < 9; i++) {
            scanf("%s", buf);
            if (buf[0] == 'x') {
                cur.zero_pos = i;
                cur.s[i] = 0;
            } else
                cur.s[i] = buf[0] - '0';
        }
        cur.hash = cantor_hash(cur.s);
        //cout << cur.hash << endl;
        if (vis[cur.hash])
            cout << path[cur.hash] << endl;
        else
            puts("unsolvable");
    }
    return 0;
}

BFS

UVa 11624 基础BFS

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白书训练指南上的第一道基础题,因为它在搜索中引入了超级源点,所以我自己试着做了一下,真的宛如发现新大陆一般,图论的建图技巧真的是在整个图论领域都十分适用啊。

因为UVa的尿性,写完去搜一下题解,居然有很多题解都是两次 bfs ……真是笑了

题意:
一个起火的迷宫,有很多起火的地点,给你初始位置,和起火地点,你的逃跑速度和火焰蔓延速度相等,问你能否跑出迷宫,若能,输出最短时间。

思路:
网上那些两遍bfs的应该是先一遍bfs处理出火焰蔓延到每一个格子的最短时间,在自己bfs时间加个时间大小判断的限制。
然而实际上,我们溶入超级源点的思路,然所有点一起开始跑,在同一个时间内,让所有火焰先跑,并加以标记,而人则把火焰和墙壁一起处理,避而不走。

AC Code

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;
const int maxn = 1010;

int row, col, st, en;
char mat[maxn][maxn];
bool vis[maxn][maxn];
int dx[] = { 0, -1, 0, 1 };
int dy[] = { -1, 0, 1, 0 };

struct node {
    int x, y;
    int time;
    bool is_fire;
    node() {}
    node(int _x, int _y, int _time, bool _fire)
        : x(_x)
        , y(_y)
        , time(_time)
        , is_fire(_fire)
    {
    }
} tmp;

queue<node> que;

int bfs()
{
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    vis[st][en] = true;
    int x, y, time;
    bool is_fire;
    while (!que.empty()) {
        tmp = que.front();
        que.pop();
        x = tmp.x, y = tmp.y, time = tmp.time, is_fire = tmp.is_fire;
        if (!is_fire && (x == 0 || x == row - 1 || y == 0 || y == col - 1))
            return time + 1;
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int xx = x + dx[i];
            int yy = y + dy[i];
            if (xx >= 0 && xx < row && yy >= 0 && yy < col && !vis[xx][yy] && mat[xx][yy] != '#') {
                if (is_fire) {
                    mat[xx][yy] = 'F';
                    que.push(node(xx, yy, time + 1, true));
                } else if (mat[xx][yy] == 'F')
                    continue;
                else
                    que.push(node(xx, yy, time + 1, false));
                vis[xx][yy] = true;
            }
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d %d", &row, &col);
        while (!que.empty())
            que.pop();
        for (int i = 0; i < row; i++)
            scanf("%s", mat[i]);
        for (int i = 0; i < row; i++)
            for (int j = 0; j < col; j++) {
                if (mat[i][j] == 'F')
                    que.push(node(i, j, 0, true));
                else if (mat[i][j] == 'J')
                    st = i, en = j;
            }
        que.push(node(st, en, 0, false));
        int ans = bfs();
        if (ans == -1)
            puts("IMPOSSIBLE");
        else
            printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

BFS

HDU 1664 Different Digits

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稍微有点不一样 这次衡量的第一标准是位数的多少 第二标准才是数的大小
这里必须有一个 数论的 知识 不然不好写(I hate number theroy ......
对于任意的整数n,必然存在一个由不多于两个的数来组成的一个倍数。(之前写过数位BFS的应该可以理解
因为a,aa,aaa……取n+1个,则必有两个模n余数相同,相减即得n的倍数m。而m只由a、0组成。(这可以说是最糟的情况
所以只要先枚举所有的 1-9 的数 如果不存在 再枚举两个数的情况 (一直很奇怪网上的题解 0-9 不是有 45种情况么…………

还有 。。。沃特么也是SB 被自己坑到了 我还以为必须是他给的数 的位数作为范围 因为样例就是这样的…… 结果WA了好几发

AC Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>

using namespace std;
const int maxn=65540;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,k,num[11],a[5];
char ch[3];
bool vis[maxn],flag[11];
string curans,ans;

struct node
{
    char ch;
    int pre,mod;
}que[maxn*10];

void getstr(int x)
{
    if(que[x].pre!=-1)
        getstr(que[x].pre);
    curans+=que[x].ch;
}

bool bfs(int kk)
{
    memset(vis,false,sizeof vis);
    int l=1,r=1;
    for(int i=0;i<kk;i++) if(a[i])
    {
        que[r].pre=-1;
        vis[que[r].mod=a[i]%n]=true;
        que[r].ch=a[i]+'0';
        r++;
    }
    while(l<r)
    {
        for(int i=0;i<kk;i++)
        {
            int tmp=que[r].mod=(que[l].mod*10+a[i])%n;
            if(!vis[tmp])
            {
                vis[tmp]=true;
                que[r].pre=l;
                que[r].ch=a[i]+'0';
                if(tmp==0)
                {
                    getstr(r);
                    return true;
                }
                r++;
            }
        }
        l++;
    }
    return false;
}

bool cmp(const string& a,const string &b)
{
    if(a.size()==b.size()) return a<b;
    return a.size()<b.size();
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        if(n<=11)//11之前直接输出    可以减少bfs的判断
        {
            printf("%d\n",n);
            continue;
        }
        ans="";
        bool wokao=false;
        for(int i=1;i<10;i++)
        {
            a[0]=i;
            curans="";
            if(bfs(1))
                if(!wokao||cmp(curans,ans))//大小关系是未知的   必须加以判断
                {
                    wokao=true;
                    ans=curans;
                }
        }
        if(wokao)
            cout<<ans<<endl;
        else
        {
            for(int i=0;i<10;i++)
                for(int j=i+1;j<10;j++)
                {
                    a[0]=i,a[1]=j;
                    curans="";
                    if(bfs(2))
                        if(!wokao||cmp(curans,ans))
                        {
                            wokao=true;
                            ans=curans;
                        }
                }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}
BFS

HDU 1226 超级密码

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中文题我就不说什么了 最近写的一道 数位bfs (个人取名……若有误还请提出更正)
结果马上就用上了 只不过题意更加明显而已 (之前还以为是很高级的想法 没想到只是在高级搜索的 Level 1 推荐出现 心酸……
其实还是和之前写的代码差不多拉 我自己消化了一下

坑点:1 注意判断 n == 0的时候 2.密码长度超过500 就不用继续了

AC Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=5005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,k,num[20],ans;
char ch[3];
bool vis[maxn];

struct node
{
    char ch;
    int pre,mod,step;
}que[maxn*10];

void print(int x)
{
    if(que[x].pre!=-1)
        print(que[x].pre);
    putchar(que[x].ch);
}

void bfs()
{
    int l=1,r=1;
    for(int i=0;i<k;i++) if(num[i])
    {
        que[r].pre=-1;
        que[r].step=1;
        vis[que[r].mod=num[i]%n]=true;
        if(num[i]<10)
            que[r].ch=num[i]+'0';
        else que[r].ch=num[i]-10+'A';
        if(que[r].mod==0)
        {
            ans=r;
            return ;
        }
        r++;
    }
    while(l<r)
    {
        int step=que[l].step;//如果在这里判断step  时间从15MS  变成31MS   就是这么玄学
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            int tmp=que[r].mod=(que[l].mod*m+num[i])%n;
            if(!vis[tmp])
            {
                vis[tmp]=true;
                que[r].pre=l;
                que[r].step=step+1;
                if(num[i]<10)
                    que[r].ch=num[i]+'0';
                else que[r].ch=num[i]-10+'A';
                if(tmp==0&&step+1<=500)
                {
                    ans=r;
                    return ;
                }
                r++;
            }
        }
        l++;
    }
}

int main()
{
    int test;
    scanf("%d",&test);
    while(test--)
    {
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            scanf("%s",ch);
            if(ch[0]<='9'&&ch[0]>='0')
                num[i]=ch[0]-'0';
            else num[i]=ch[0]-'A'+10;
        }
        sort(num,num+k);
        if(n==0)
        {
            if(num[0]==0) puts("0");
            else puts("give me the bomb please");
            continue;
        }
        memset(vis,false,sizeof vis);
        ans=-1;
        bfs();
        if(ans==-1) puts("give me the bomb please");
        else
        {
            print(ans);
            puts("");
        }
    }
    return 0;
}
BFS

HDU 4634 Swipe Bo

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玛德 我现在特别想骂人 这道题真特么的坑爹 坑爹 坑爹 航电你就不能吧数据搞的好一点么 写了我几乎整整一天

我也不想多说什么了 真的 让我静静 这时间浪费的太不值了…………

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

char g[220][220];
int sx,sy,ex,ey;
int row,col,keynum;
bool flag[202][202][1<<7][4];
int mve[][2] = {{-1,0},{0,-1},{1,0},{0,1}};
struct node
{
    int key,num;
    int x,y;
    node(){}
    node(int _x,int _y,int change=0,int status=0):x(_x),y(_y),key(status),num(change) {}
};
int bfs()
{
    queue<node> que;
    node tmp,now;
    que.push(node(sx,sy));
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    while(!que.empty())
    {
        tmp = que.front();
        que.pop();
        for(int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int x = tmp.x;
            int y = tmp.y;
            int ss = tmp.key;
            int dir=i;
            while(1)
            {
                if(g[x][y] =='L') dir=1;
                if(g[x][y] == 'U') dir=0;
                if(g[x][y] == 'D') dir=2;
                if(g[x][y] == 'R') dir=3;
                if(flag[x][y][ss][dir])break;
                flag[x][y][ss][dir] = true;
                if(g[x][y]>='0'&&g[x][y]<'8')
                 ss |= (1<<(g[x][y]-'0'));
                if( x == ex && y== ey && ss ==keynum)
                    return tmp.num+1;
                if(x+mve[dir][0]>=0 && x+mve[dir][0]<row&& y+mve[dir][1]>=0 && y+mve[dir][1]<col)
                    if( g[x+mve[dir][0]][y+mve[dir][1]]=='#' )
                    {
                        que.push(node(x,y,tmp.num+1,ss));
                        break;
                    }
                    else
                    {
                        x+=mve[dir][0];
                        y+=mve[dir][1];
                    }
                else  break;
            }
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&row,&col)!=EOF)
    {
        keynum = 0;
        for(int i = 0; i < row; i++)
        {
            scanf("%s",g[i]);
            for(int j = 0; j < col; j++)
                if(g[i][j] == 'S')
                    sx = i,sy = j;
                else if(g[i][j] == 'E')
                    ex = i,ey = j;
                else if(g[i][j] == 'K')
                    g[i][j]='0'+keynum++;
        }
        keynum=(1<<keynum)-1;
        printf("%d\n",bfs());
    }
    return 0;
}