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51Nod 1967 路径定向

NodeKey

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• 3 min read

首先说一下这道题的思路真的是非常巧妙。

但是，出题人脑子进shi了么，难道一定要写法和你一样才能过？？？？

反正卡的特别紧，我到最后还有一个测试点一直超时。
时间限制是 1200s ，明显就是故意的。这种故意卡常在51Nod里巨特么多。搞不懂他们在想什么。
不觉得会在以后碰到类似的题目会故意卡我，因为很多人都是 1000 ～ 1200 的时间卡过的。

题意：
给你一个有向图，让你任意改动边的方向，使得出入度相同的点数最多。
并输出方案。

思路：
一眼看成上下界网络流。实际上这道题就是用上下界网络流改出来的，但就别想了，正解都卡着过，网络流能过？

建图方式和无汇源上下界可行流一致，跑一遍最大流即可。

下面是另一种思路。
有入度相同的特征的图还有一种，就是欧拉图，对于度数为奇数的点(以下简称奇点，反之偶点），必然不可能存在一个方案使得其出入点相同。这是必然的，那么反过来对于偶点，如果欧拉路径存在也就必然存在一个方案使得其出入度相同。
直接将所有奇点，顺序两两相连，跑一遍欧拉路径即可。

这里补充两点

  1. 奇点数量必然为偶数。因为每一条遍贡献的度数为 2 ，所以度数和为偶数。
  2. 奇点相连不会对偶点产生任何影响。

因此，我们可以得出结论，这个方案必然存在！

TLE Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>

typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxm = 2e6 + 5;

namespace fastIO {
#define BUF_SIZE 100000
bool IOerror = 0;
inline char nc()
{
    static char buf[BUF_SIZE], *p1 = buf + BUF_SIZE, *pend = buf + BUF_SIZE;
    if (p1 == pend) {
        p1 = buf;
        pend = buf + fread(buf, 1, BUF_SIZE, stdin);
        if (pend == p1) {
            IOerror = 1;
            return -1;
        }
    }
    return *p1++;
}
inline bool blank(char ch)
{
    return ch == ' ' || ch == '\n' || ch == '\r' || ch == '\t';
}
inline void read(int& x)
{
    char ch;
    while (blank(ch = nc()))
        ;
    if (IOerror)
        return;
    for (x = ch - '0'; (ch = nc()) >= '0' && ch <= '9'; x = x * 10 + ch - '0')
        ;
}
#undef BUF_SIZE
};
using namespace fastIO;

struct node {
    int to, next;
} edges[maxm << 1];
int head[maxn], idx;

inline void addEdge(int u, int v)
{
    edges[idx] = (node){ v, head[u] };
    head[u] = idx++;
    edges[idx] = (node){ u, head[v] };
    head[v] = idx++;
}

int deg[maxn];
char dir[maxn];

bool vis[maxm];

void dfs(int u)
{
    for (int id = head[u]; ~id; id = edges[id].next) {
        if (!vis[id]) {
            dir[id >> 1] = (id & 1) + '0';
            vis[id] = vis[id ^ 1] = true;
            dfs(edges[id].to);
        }
    }
}

int main()
{
    int n, m, u, v;
    read(n), read(m);
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        head[i] = -1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        read(u), read(v);
        addEdge(u, v);
        deg[u]++, deg[v]++;
    }
    int ans = 0, pre = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (deg[i] & 1) {
            if (pre == -1)
                pre = i;
            else {
                addEdge(i, pre);
                pre = -1;
            }
        } else
            ans++;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!dir[i])
            dfs(i);
    printf("%d\n", ans);
    dir[m] = 0;
    puts(dir);
    return 0;
}
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